{"id":12424,"date":"2023-10-16T15:47:56","date_gmt":"2023-10-16T14:47:56","guid":{"rendered":"https:\/\/www.simtrade.fr\/blog_simtrade\/?p=12424"},"modified":"2026-02-17T12:00:33","modified_gmt":"2026-02-17T12:00:33","slug":"distributions-statistiques-variable-discrete-continue","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.simtrade.fr\/blog_simtrade\/distributions-statistiques-variable-discrete-continue\/","title":{"rendered":"Distributions statistiques : variable discr\u00e8te vs variable continue"},"content":{"rendered":"

\"Shengyu<\/a><\/p>\n

Dans cet article, Shengyu ZHENG<\/a> (ESSEC Business School, Grande Ecole – Master in Management<\/i>, 2020-2024) explique les distributions statistiques pour des variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes et continues.<\/p>\n

Variables al\u00e9atoires discr\u00e8te et continue<\/h2>\n

Une variable al\u00e9atoire est une variable dont la valeur est d\u00e9termin\u00e9e d\u2019apr\u00e8s la r\u00e9alisation d\u2019un \u00e9v\u00e9nement al\u00e9atoire. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, la variable (X) est une fonction mesurable depuis un ensemble de r\u00e9sultats (\u03a9) \u00e0 un espace mesurable (E).<\/p>\n

X : \u03a9 \u2192 E<\/p>\n

On distingue principalement deux types de variables al\u00e9atoires : discr\u00e8tes et continues.<\/p>\n

Une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te prend des valeurs dans un ensemble d\u00e9nombrable comme l\u2019ensemble des entiers naturels. Par exemple, le nombre de points marqu\u00e9s lors d’un match de basket est une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te, car elle ne peut prendre que des valeurs enti\u00e8res telles que 0, 1, 2, 3, etc. Les probabilit\u00e9s associ\u00e9es \u00e0 chaque valeur possible de la variable al\u00e9atoire discr\u00e8te sont appel\u00e9es probabilit\u00e9s de masse.<\/p>\n

En revanche, une variable al\u00e9atoire continue prend des valeurs dans un ensemble non d\u00e9nombrable comme l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els. Par exemple, la taille ou le poids d’une personne sont des variables al\u00e9atoires continues, car elles peuvent prendre n’importe quelle valeur r\u00e9elle positive. Les probabilit\u00e9s associ\u00e9es \u00e0 une variable al\u00e9atoire continue sont d\u00e9termin\u00e9es par une fonction de densit\u00e9 de probabilit\u00e9. Cette fonction permet de mesurer la probabilit\u00e9 que la variable al\u00e9atoire se situe dans un intervalle donn\u00e9 de valeurs.<\/p>\n

M\u00e9thodes pour d\u00e9crire des distributions statistiques<\/h2>\n

Afin de mieux comprendre une variable al\u00e9atoire, il y a plusieurs moyens pour d\u00e9crire la distribution de la variable.<\/p>\n

Calcul des statistiques<\/h3>\n

Une statistique est le r\u00e9sultat d’une suite d’op\u00e9rations appliqu\u00e9es \u00e0 un ensemble d\u2019observations appel\u00e9 \u00e9chantillon et une mesure num\u00e9rique qui r\u00e9sume une caract\u00e9ristique de cet ensemble. Par exemple, la moyenne est un exemple de statistiques.
\nLes statistiques peuvent \u00eatre divis\u00e9es en deux types principaux : les statistiques descriptives et les statistiques inf\u00e9rentielles.<\/p>\n

Les statistiques descriptives sont utilis\u00e9es pour r\u00e9sumer et d\u00e9crire les caract\u00e9ristiques de base d’un ensemble de donn\u00e9es. Elles comprennent des mesures telles que les moments d\u2019une distribution (la moyenne, la variance, le skewness, le kurtosis, \u2026). Une explication plus d\u00e9taill\u00e9e est disponible dans l\u2019article Moments de la distribution<\/a>.<\/p>\n

Les statistiques inf\u00e9rentielles, quant \u00e0 elles, sont utilis\u00e9es pour faire des inf\u00e9rences sur une population \u00e0 partir d’un \u00e9chantillon de donn\u00e9es. Elles incluent des tests d’hypoth\u00e8ses, des intervalles de confiance, des analyses de r\u00e9gression, des mod\u00e8les pr\u00e9dictifs, etc.<\/p>\n

Histogramme<\/h3>\n

Un histogramme est un type de graphique qui permet de repr\u00e9senter la distribution des donn\u00e9es d’un \u00e9chantillon. Il est constitu\u00e9 d’une s\u00e9rie de rectangles verticaux, o\u00f9 chaque rectangle repr\u00e9sente une plage de valeurs de la variable \u00e9tudi\u00e9e (appel\u00e9e classe), et dont la hauteur correspond \u00e0 la fr\u00e9quence des observations de cette classe.<\/p>\n

L’histogramme est un outil tr\u00e8s utilis\u00e9 pour visualiser la distribution des donn\u00e9es et pour identifier les tendances et les formes dans les donn\u00e9es pour les variables discr\u00e8tes ainsi que continues discr\u00e9tis\u00e9es.<\/p>\n

Fonction de masse et fonction de densit\u00e9<\/h3>\n

Une fonction de masse de probabilit\u00e9 est une fonction math\u00e9matique qui permet de d\u00e9crire la distribution de probabilit\u00e9 d’une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te.<\/p>\n

La fonction de masse de probabilit\u00e9 associe \u00e0 chaque valeur possible de la variable al\u00e9atoire discr\u00e8te une probabilit\u00e9. Par exemple, si X est une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te prenant les valeurs 1, 2, 3 et 4 avec des probabilit\u00e9s respectives de 0,2, 0,3, 0,4 et 0,1, alors la fonction de masse de probabilit\u00e9 de X (loi multinomiale) est donn\u00e9e par :
\nP(X=1) = 0,2
\nP(X=2) = 0,3
\nP(X=3) = 0,4
\nP(X=4) = 0,1<\/p>\n

Il est important de noter que la somme des probabilit\u00e9s pour toutes les valeurs possibles de la variable al\u00e9atoire doit \u00eatre \u00e9gale \u00e0 1, c’est-\u00e0-dire, pour toute variable al\u00e9atoire discr\u00e8te X :
\n\u2211 P(X=x) = 1<\/p>\n

Figure 1. Fonction de masse d\u2019une loi multinomiale (pour une variable discr\u00e8te).
\n\"Fonction
\nSource : calcul par l\u2019auteur<\/p>\n

Par contre, une fonction de densit\u00e9 repr\u00e9sente la distribution de probabilit\u00e9 d’une variable al\u00e9atoire continue. La fonction de densit\u00e9 permet de calculer la probabilit\u00e9 que la variable al\u00e9atoire prenne une valeur dans un intervalle donn\u00e9.
\nGraphiquement, l’aire sous la courbe de la fonction de densit\u00e9 entre deux valeurs a et b correspond \u00e0 la probabilit\u00e9 que la variable al\u00e9atoire prenne une valeur dans l\u2019intervalle [a, b].<\/p>\n

Il est important de noter que la fonction de densit\u00e9 est une fonction continue, positive et int\u00e9grable sur tout son domaine. L’int\u00e9grale de la fonction de densit\u00e9 sur l’ensemble des valeurs possibles de la variable al\u00e9atoire est \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\n

Figure 2. Fonction de densit\u00e9 d\u2019une loi normale (pour une variable continue).
\n\"Fonction
\nSource : calcul par l\u2019auteur<\/p>\n

Fonction de r\u00e9partition<\/h3>\n

La fonction de r\u00e9partition (ou fonction de distribution cumulative) est une fonction math\u00e9matique qui d\u00e9crit la probabilit\u00e9 qu’une variable al\u00e9atoire prenne une valeur inf\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 une certaine valeur donn\u00e9e. Elle est d\u00e9finie pour toutes les variables al\u00e9atoires, qu’elles soient continues ou discr\u00e8tes.
\nPour une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te, la fonction de r\u00e9partition F(x) est d\u00e9finie comme la somme des probabilit\u00e9s des valeurs inf\u00e9rieures ou \u00e9gales \u00e0 x :<\/p>\n

F(x) = P(X \u2264 x) = \u03a3 P(X = xi) pour xi \u2264 x<\/p>\n

Pour une variable al\u00e9atoire continue, la fonction de r\u00e9partition F(x) est d\u00e9finie comme l’int\u00e9grale de la densit\u00e9 de probabilit\u00e9 f(x) de -\u221e \u00e0 x :
\nF(x)=P(X\u2264x)= \u222b-\u221e<\/sub>x<\/sup>f(t)dt<\/p>\n

Exemples<\/h2>\n

Dans cette partie, nous allons prendre deux exemples d\u2019analyse de distribution statistique, l\u2019un d\u2019une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te et l\u2019autre d\u2019une variable continue.<\/p>\n

Variable discr\u00e8te : r\u00e9sultat du lancer d\u2019un d\u00e9 \u00e0 six faces<\/h3>\n

Le jeu de lancer de d\u00e9 \u00e0 six faces consiste \u00e0 lancer un d\u00e9 pour obtenir un r\u00e9sultat al\u00e9atoire entre 1 et 6, correspondant aux six faces du d\u00e9. Les r\u00e9sultats ne prennent que les valeurs enti\u00e8res (1, 2, 3, 4, 5 et 6) et ils ont tous une probabilit\u00e9 identique de 1\/6.<\/p>\n

Dans cet exemple, le code R permet de simuler N lancers de d\u00e9 et de visualiser la distribution des N r\u00e9sultats \u00e0 l’aide d’un histogramme. En utilisant ce code, il est possible de simuler des parties de lancer de d\u00e9 et d’analyser les r\u00e9sultats pour mieux comprendre la distribution des probabilit\u00e9s.<\/p>\n

Si cette exp\u00e9rience al\u00e9atoire est r\u00e9p\u00e9t\u00e9e 1 000 fois, nous arrivons \u00e0 un r\u00e9sultat dont l\u2019histogramme est comme :<\/p>\n

Figure 3. Histogramme des r\u00e9sultats de lancers d\u2019un d\u00e9 \u00e0 six faces.
\n\"Histogramme
\nSource : calcul par l\u2019auteur<\/p>\n

Nous constatons que les r\u00e9sultats sont distribu\u00e9s d\u2019une mani\u00e8re \u00e9quilibr\u00e9e et ont la tendance de converger vers la probabilit\u00e9 th\u00e9orique 1\/6.<\/p>\n

Variable continue : rendments de l\u2019indice CAC40<\/h3>\n

Le rendement d\u2019un indice d\u2019actions comme le CAC 40 pour le march\u00e9 fran\u00e7ais est une variable al\u00e9atoire continue parce qu\u2019elle peut prendre toutes les valeurs r\u00e9elles.<\/p>\n

Nous utilisons un historique de l\u2019indice boursier journalier pour des cours de cl\u00f4ture de l\u2019indice CAC 40 du 1er<\/sup> avril 2021 au 1er<\/sup> avril 2023 pour calculer des rendements journali\u00e8res (rendements logarithmiques).<\/p>\n

En finance, la distribution des rendements journali\u00e8res de l\u2019indice CAC 40 est souvent mod\u00e9lis\u00e9e par une loi normale, m\u00eame si la loi normale ne mod\u00e9lise pas forc\u00e9ment bien la distribution observ\u00e9e, surtout les queues de distributions observ\u00e9es. Dans le graphique ci-dessous, nous voyons que la distribution normale ne d\u00e9crit pas bien la distribution r\u00e9elle.<\/p>\n

Figure 4. Fonction de densit\u00e9 des rendements journali\u00e8res de l\u2019indice CAC 40 (variable continue).
\n\"Fonction
\nSource : calcul par l\u2019auteur<\/p>\n

Pour des observations issues pour une variable continue, il est toujours possible de regrouper les observations dans des intervalles et de repr\u00e9senter dans un histogramme.<\/p>\n

La table 1 ci-dessous donne les statistiques descriptives pour les rendements journali\u00e8res de l\u2019indice CAC 40.<\/p>\n

Table 1. Statistiques descriptives pour les rendements journali\u00e8res de l\u2019indice CAC 40.<\/h3>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Statistiques descriptives<\/td>\nValeur<\/td>\n<\/tr>\n
Moyenne<\/td>\n0.035<\/td>\n<\/tr>\n
M\u00e9diane<\/td>\n0.116<\/td>\n<\/tr>\n
\u00c9cart-type<\/td>\n1.200<\/td>\n<\/tr>\n
Skewness<\/td>\n-0.137<\/td>\n<\/tr>\n
Kurtosis<\/td>\n6.557<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Les r\u00e9sultats du calcul des statistiques descriptives correspondent bien \u00e0 ce que nous pouvons remarquer du graphique. La distribution des rendements a une moyenne l\u00e9g\u00e8rement positive. La queue de la distribution empirique est plus \u00e9paisse que celle de la distribution normale vu les survenances des rendements (positives ou n\u00e9gatives) extr\u00eames.<\/p>\n

Fichier R pour cet article<\/h2>\n

\"Download<\/a><\/p>\n

A propos de l’auteur<\/h2>\n

Cet article a \u00e9t\u00e9 \u00e9crit en octobre 2023 par Shengyu ZHENG<\/a> (ESSEC Business School, Grande Ecole<\/i> Program – Master in Management, 2020-2024).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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